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本次分享的是基于Modified Newton–Raphson的非線性有限元編程小案例，將會(huì)介紹牛頓法的優(yōu)缺點(diǎn)，以及如何一步步修正，最后結(jié)合彈簧單元的例子進(jìn)行Modified Newton–Raphson數(shù)值實(shí)現(xiàn)，望大家喜歡。

修正方法：在自己非線性有限元編程時(shí)，可以將上述迭代過程稍加修正，將每次迭代時(shí)的切線剛度矩陣換做初始切線剛度矩陣，并且在迭代時(shí)保持不變，即可大大減少計(jì)算量，修正方法如下圖所示：圖 3：Newton-Raphson（N-R）迭代法與修正的 Newton-Raphson（N-R）迭代法（源自《有限元基礎(chǔ)教程》曾攀.P284）求解非線性方程的Newton-Raphson算法數(shù)學(xué)解釋非線性方程的根記為

有關(guān)Newton–Raphson的算法細(xì)節(jié)，可參考數(shù)值分析教材或者木木前幾期的推文，本質(zhì)就是一個(gè)切線逼近的過程，本次推文的目的就是帶著大家將該算法應(yīng)用到具體有限元非線性求解案例中。

理論及在Abaqus中的實(shí)現(xiàn)過程已在上幾期推文基于Abaqus的Newton-Raphson算法中說明，本次主要說明Fortran編程時(shí)需要注意的地方，本文代碼主要參考：《Fortran程序設(shè)計(jì)權(quán)威指南》。

分析和求解控制 使用初始Newton-Raphson方法進(jìn)行非線性靜態(tài)分析。載荷極限（結(jié)構(gòu)能夠承受的最大載荷）通過全局Newton-Raphson解的發(fā)散來確定。 在單個(gè)子步中計(jì)算原位應(yīng)力狀態(tài)。 使用0.05的初始時(shí)間步長(zhǎng)計(jì)算載荷極限。為了精確捕捉結(jié)構(gòu)完整性損失，時(shí)間增量可以減少到0.001。

非線性有限元一直是有限元中較為困難的一部分，在非線性有限元中我們經(jīng)常碰到諸如Newton-Raphson迭代法，切線剛度陣等概念，今天我們就單的介紹一下非線性吧。

Newton-Raphson update d_ga = d_ga - f_gamma_delta / Df_gamma_d_d_gamma END DO !

全局剛度矩陣是不對(duì)稱的，因此需要非對(duì)稱Newton-Raphson求解器選項(xiàng)（NROPT，UNSYM）。

介紹弧長(zhǎng)法之前，必須了解Newton-Raphson法的載荷控制和位移控制： 如下圖的位移-載荷曲線，如果使用載荷控制，只能夠達(dá)到Fcr。如果使用位移控制，有可能會(huì)跳過不穩(wěn)定點(diǎn)，但是必須要知道是什么位移，在復(fù)雜載荷下，一般不知道位移狀態(tài)。

在隱式動(dòng)力學(xué)中，每個(gè)時(shí)間步內(nèi)需要通過迭代方法來找到使得方程達(dá)到平衡的解。雖然這使得計(jì)算速度相對(duì)較慢，但隱式動(dòng)力學(xué)更為穩(wěn)定，能夠處理更為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。隱式動(dòng)力學(xué)常用于模擬結(jié)構(gòu)在地震、風(fēng)載等較長(zhǎng)時(shí)間范圍內(nèi)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。其迭代方法通常采用數(shù)值方法如Newton-Raphson迭代，以求解非線性方程組。這使得隱式動(dòng)力學(xué)成為處理大規(guī)模、高度非線性問題的理想選擇。

? 收斂速度：Newton-IHTs方法收斂最快。? 運(yùn)行時(shí)間：Newton-IHTs方法效率顯著優(yōu)于SD和IHTs方法。

此 Newton - Raphson 分析的收斂性由 “Line Search convergence tolerance”（線搜索收斂容差）和 “Displacement Convergence tolerance”（位移收斂容差）控制。LS - DYNA 支持所有這些方法，這些方法都在分析的瞬態(tài)部分于時(shí)間零開始之前的偽時(shí)間內(nèi)進(jìn)行。

對(duì)于這些方程組，數(shù)學(xué)上已有相應(yīng)的解法，如線性方程組可采用Guass消去法或Guass-Seidel迭代法求解，而對(duì)非線性方程組，可采用Newton-Raphson方法。

• 使用非對(duì)稱Newton-Raphson解方法（NROPT，UNSYM）和耦合孔隙壓力熱機(jī)械單元（本問題中為CPT212）。 • 忽略可能在地質(zhì)靜態(tài)求解開始時(shí)出現(xiàn)的接觸單元狀態(tài)警告。（由于接觸單元被殺死，然后被重新激活，預(yù)計(jì)狀態(tài)會(huì)突然改變。）

1.屈曲有限元理論有限元方法中，對(duì)結(jié)構(gòu)的屈曲失穩(wěn)問題的分析方法主要有兩類：一類是通過 特征值分析計(jì)算屈曲載荷，另一類是利用結(jié)合 Newton—Raphson 迭代的弧長(zhǎng)法 來確定加載方向，追蹤失穩(wěn)路徑的幾何非線性分析方法，能有效分析高度非線性 屈曲和后屈曲問題。1.1 線性屈曲假設(shè)結(jié)構(gòu)受到的外載荷模式為P0。

由于我們使用 Newton-Raphson 方法來求解這個(gè)問題，因此不應(yīng)該從函數(shù)斜率為零的點(diǎn)開始。經(jīng)過求解，我們發(fā)現(xiàn) u_b = 2.621。 現(xiàn)在，我們讓事情變得復(fù)雜一點(diǎn)，這次需要求解的是 和 這兩個(gè)極限： 由于我們有兩個(gè)未知數(shù)，顯然需要在這里再加一個(gè)方程，所以讓我們?cè)偌僭O(shè) 。